Petites histoires des sciences

Il suffit de lever les yeux vers le ciel pendant une nuit noire, sans nuage et assez loin des villes de préférence, pour ressentir l’idée de l’infini. Comme son nom l’indique, l’infini est ce qui est sans fin. Si l’infini n’a pas de fin, peut-être y a-t-il un début à son histoire.

L’infini est un concept qui taraude les esprits depuis l’Antiquité déjà. Omniprésent dans les sciences dans des questions telles que « l’Univers est-il infini?« , il occupe une bonne place, dans l’art avec Escher, ou la littérature avec Jorge Luis Borges. Mais c’est dans les mathématiques que le concept a donné le plus de fil à retordre. Faisons connaissance avec l’histoire de cette notion dont le symbole a été conçu en 1655 par le mathématicien anglais John Wallis (1616-1703) s’inspirant du numéral romain 1000, écrit ⊕ ou comme un phi grec Φ, puis est devenu CIƆ, ↀ et finalement une sorte de huit allongé, ou un zéro étranglé.

L’horror infiniti

L’infini est un concept abstrait. Or, les civilisations antiques utilisaient surtout les mathématiques à des fins pratiques : compter la monnaie, évaluer une surface… On doit probablement à Anaxagore de Clazomènes (env. 500-428 av. J.-C.) l’introduction de la notion d’infini dans la pensée occidentale. Le grec Zénon d’Elée (495-435 av. J.-C.) ne tarde pas à mettre en évidence le paradoxe que cette notion propose. Sa philosophie, avec celle de Parménide, refuse la notion d’évolution et prône la permanence. En d’autres termes, tout ce qui est transformation, donc mouvement, est illusion. Zénon s’est proposé de démontrer l’impossibilité du mouvement. Nous connaissons ces textes par Aristote et en particulier l’argument dit de la Dichotomie qui s’exprime en ces termes :

Il n’y a point de mouvement, parce qu’il faut que le mobile arrive au point milieu de son parcours avant d’arriver au point extrême

Il imagine Achille devant courir une certaine distance. Pour y parvenir, il faudra d’abord qu’il atteigne la moitié de la distance. Mais aussi la moitié de la moitié, soit le quart et la moitié du quart, de sorte qu’Achille aura ainsi une infinité d’étapes à franchir avant d’arriver au terme de sa course, rendant son mouvement impossible. Achille se donne alors un objectif plus modeste : rattraper une tortue. Il faut auparavant qu’Achille parvienne au point d’où est partie la tortue. Une fois arrivé, la tortue sera déjà un peu plus loin. Achille fournira un nouvel effort mais sa course poursuite est vaine puisque la tortue aura toujours pris de l’avance sur lui ! Le plus lent aura donc nécessairement toujours de l’avance !

Zénon a soulevé le voile de l’infini et de ses étrangetés, aussi les grecs se méfient ils de cette notion abstraite. Aristote exprime sa répugnance de l’infini dans son livre Physique :

L’existence de l’infini est potentielle… Il n’existe pas en réalité.

Pour se rapprocher de l’idée d’Aristote, nous considérons la suite des nombres entiers 1, 2, 3,… Il n’existe pas de nombre entier plus grand que tous les autres, car il suffit d’ajouter 1 à tout nombre pour en avoir son supérieur. L’infini a donc un caractère potentiel.

L’histoire de l’infini refait surface mais dans la Religion avec Saint-Augustin (354-430). La quête de l’infini est liée à quelque chose qui dépasse l’expérience ordinaire. Cette transcendance est souvent associée à Dieu et l’Infini est un de ses attributs. Saint-Augustin se demande si Dieu peut avoir accès à l’infini ou s’il existe des limites à sa connaissance. Il répond catégoriquement :

Il est certainement vrai qu’il existe une infinité de nombres. Cela signifie-t-il qu’à cause de leur infinité Dieu ne peut pas tous les connaître?… Personne ne saurait être assez dément pour proclamer une telle contre-vérité… Pour Dieu, l’infinité devient finie, car rien n’est au-delà de Sa connaissance.

Hop, par un tour de passe-passe, l’infini devient fini et pour Dieu l’infini n’est pas potentiel mais actuel. Même son de cloche chez Thomas d’Aquin (1225-1274) qui démontre l’existence divine par l’enchainement des causes. Toute chose a une cause et il ne peut y avoir une infinité de causes. La cause première revenant à Dieu, seul être infini capable de penser l’infini.

Blaise Pascal (1623-1662) connu pour ses travaux sur la pression ou sa machine à calculer, pense que l’infini est partout dans le monde mais inaccessible à la raison humaine

Car enfin qu’est-ce l’homme dans la nature? Un néant à l’égard de l’infini, un tout à l’égard du néant, un milieu entre rien et tout. Infiniment éloigné de comprendre les extrêmes, la fin des choses et leur principe sont pour lui invinciblement cachés dans un secret impénétrable, également incapable de voir le néant d’où il est tiré, et l’infini où il est englouti.

Voilà l’Homme pris entre deux infinis et Pascal de dire :

Le silence de ces espaces infinis m’effraie.

Les paradoxes de l’infini

Si l’infini continue d’effrayer qui s’en approche, Galilée soulève une bizarrerie liée à cette notion. Dans son ouvrage, Discours concernant deux sciences nouvelles, le physicien italien considère la liste des entiers positifs : 1, 2, 3… qui est infinie, appelons la liste A. Il élève ensuite au carré chaque nombre de la liste, ce qui donne : 1, 4, 9… La nouvelle liste obtenue est aussi infinie, c’est la liste B. A chaque nombre de la liste A est associé un nombre de la liste B. En jargon mathématique, on dit qu’il existe une correspondance biunivoque entre les deux listes. Les deux listes doivent donc avoir le même nombre de termes. Or, chaque élément de la liste B est aussi inclus dans la liste A. Il doit donc y avoir plus de nombre dans la liste A! Suivant le raisonnement pris, on arrive à des résultats différents ! A et B sont de taille égale ou A est plus grand que B ! Paradoxal…

Le mathématicien allemand David Hilbert (1862-1943) imagine une petite histoire pour illustrer les paradoxes des infinis. Imaginez un hôtel nommé Infinité qui a une infinité de chambres numérotés 1,2,3,…. Vous voulez y passer le weekend mais vous n’avez pas réservé. Arrivé sur place, l’hôtel est complet. Le gérant vous indique que ce n’est pas un problème et demande à chaque client de changer de chambre. Le client de la chambre 1 va dans la chambre 2, celui de la chambre 2 dans la chambre 3 etc. Vous voilà avec la chambre 1 libérée. Arrive alors un bus avec une infinité de personnes à bord qui veut passer la nuit dans cet hôtel. L’hôtel est complet mais le gérant, avec le même flegme, annonce que cela sera possible. Il demande alors au client de la chambre 1 d’aller dans la chambre 2, celui de la chambre 2, dans la chambre 4, celui de la chambre 3 dans la chambre 6, ainsi il libère toutes les chambres aux numéros impairs.

Vers la résolution de l’infini

Au début du XIXe siècle, le mathématicien tchèque Bernhard Bolzano s’attaque (à l’âge de 77ans !) au problème de l’infini. Il comprend que ces paradoxes surgissent si nous nous obstinons à appliquer au concept de l’infini des concepts qui ne sont valables qu’avec le fini. C’est un peu comme si vous vouliez absolument décrire les phénomènes atomiques avec des outils de la physique classique, ou bien vouloir allumer une cigarette avec deux silex. Il estime que tous les infinis sont égaux mais il se trompe et c’est au mathématicien allemand Georg Cantor (1845-1918) que l’on doit la démonstration qu’il existe différents infinis ! (Note : la démonstration faite par Cantor nous ferait sortir du sujet mais le lecteur intéressé pourra lire utilement la référence mentionnée dans la bibliographie). Le mathématicien Kurt Gödel (1906-1978), grand ami d’Einstein, démontre en 1931 qu’un système arithmétique cohérent et non contradictoire contient inévitablement des propositions « indécidables », c’est à dire des raisonnement mathématiques dont on ne peut pas dire par le seul raisonnement logiques s’ils sont vrais ou faux. Ce théorème montre que le pouvoir de la pensée rationnelle n’est pas sans limites.

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Sources

Aristote, Physique, livre VI, chapitre XIV.
Pascal, Pensieri, 84 et 91, Bompiani Testi a Fronte, version français/italien, 2006.
Trinh Xuan Thuan, Désir d’infini, Folio essais, 2014.
Gabrielle Emilie Le Tonnelier de Breteuil, Institutions de physique, Paris: Prault, 1740, page 152.
Charles Dunant, Les arguments de Zénon d‘Élée contre le mouvement, Alcan, Paris, 1884.

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