Evolution de l’infini

Il suffit de lever les yeux vers le ciel pendant une nuit noire (sans nuage et assez loin des villes de préférence) pour ressentir l’idée de l’infini. Comme son nom l’indique, l’infini est ce qui est sans fin. Si l’infini n’a pas de fin, peut-être y a-t-il un début à son histoire. L’infini est un concept qui taraude les esprits depuis l’Antiquité déjà. Omniprésent dans les sciences dans des questions telles que « l’Univers est-il infini? », il occupe une bonne place dans l’art avec Escher ou la littérature avec Jorge Luis Borges. Mais c’est dans les mathématiques que le concept a donné le plus de fil à retordre. Faisons connaissance avec l’histoire de cette notion dont le symbole a été conçu en 1655 par le mathématicien anglais John Wallis (1616-1703) s’inspirant du numéral romain 1000, écrit ⊕ ou comme un phi grec Φ, puis est devenu CIƆ, ↀ et finalement une sorte de huit allongé, ou un zéro étranglé.

L’horror infiniti

 

L’infini est un concept abstrait. Or, les civilisations antiques utilisaient surtout les mathématiques à des fins pratiques : compter la monnaie, évaluer une surface… C’est le grec Zénon d’Elée (495-435 av. J.-C.) qui mit en premier en évidence le paradoxe de l’infini. Sa philosophie, avec celle de Parménide, refusait la notion d’évolution et prônait la permanence. En d’autres termes, tout ce qui est transformation, donc mouvement, est illusion. Zénon s’est proposé de démontrer l’impossibilité du mouvement. Nous connaissons ces textes par Aristote [2] et en particulier l’argument dit de la Dichotomie qui s’exprime en ces termes :

« Il n’y a point de mouvement, parce qu’il faut que le mobile arrive au point milieu de son parcours avant d’arriver au point extrême ».

Il imagine Achille devant courir une certaine distance. Pour y parvenir, il faudra d’abord qu’il atteigne la moitié de la distance. Mais aussi la moitié de la moitié, soit le quart et la moitié du quart, de sorte qu’Achille aura ainsi une infinité d’étapes à franchir avant d’arriver au terme de sa course, rendant son mouvement impossible. Achille se donne alors un objectif plus modeste : rattraper une tortue. Il faut auparavant qu’Achille parvienne au point d’où est partie la tortue. Une fois arrivé, la tortue sera déjà un peu plus loin. Achille fournira un nouvel effort mais sa course poursuite est vaine puisque la tortue aura toujours pris de l’avance sur lui! Le plus lent aura donc nécessairement toujours de l’avance! [4]

Zénon avait soulevé le voile de l’infini et de ses étrangetés, aussi les grecs se méfièrent-ils de cette notion abstraite. Aristote a exprimé sa répugnance de l’infini dans son livre Physique :

« L’existence de l’infini est potentielle… Il n’existe pas en réalité. »

Pour se rapprocher de l’idée d’Aristote, nous considérons la suite des nombres entiers 1, 2, 3,… Il n’existe pas de nombre entier plus grand que tous les autres, car il suffit d’ajouter 1 à tout nombre pour en avoir son supérieur. L’infini a donc un caractère potentiel.

L’histoire de l’infini refait surface mais dans la Religion avec Saint-Augustin (354-430). La quête de l’infini est liée à quelque chose qui dépasse l’expérience ordinaire. Cette transcendance est souvent associée à Dieu et l’Infini est un de ses attributs. Saint-Augustin se demandait si Dieu peut avoir accès à l’infini ou s’il existait des limites à sa connaissance. Il a répondu catégoriquement : « Il est certainement vrai qu’il existe une infinité de nombres. Cela signifie-t-il qu’à cause de leur infinité Dieu ne peut pas tous les connaître?… Personne ne saurait ête assez dément pour proclamer une telle contre-vérité… Pour Dieu, l’infinité devient finie, car rien n’est au-delà de Sa connaissance. » Hop, par un tour de passe-passe, l’infini devient fini et pour Dieu l’infini n’est pas potentiel mais actuel. Même son de cloche chez Thomas d’Aquin (1225-1274) qui démontre l’existence divine par l’enchainement des causes. Toute chose a une cause et il ne peut y avoir une infinité de causes. La cause première revenant à Dieu, seul être infini capable de penser l’infini.

Blaise Pascal (1623-1662) connu pour ses travaux sur la pression ou sa machine à calculer, pensait que l’infini était partout dans le monde mais inaccessible à la raison humaine [6]:

« Car enfin qu’est-ce l’homme dans la nature? Un néant à l’égard de l’infini, un tout à l’égard du néant, un milieu entre rien et tout. Infiniment éloigné de comprendre les extrêmes, la fin des choses et leur principe sont pour lui invinciblement cachés dans un secret impénétrable, également incapable de voir le néant d’où il est tiré, et l’infini où il est englouti. »

Voilà l’Homme pris entre deux infinis et Pascal de dire [6]:

« Le silence de ces espaces infinis m’effraie ».

Les paradoxes de l’infini

Si l’infini continue d’effrayer qui s’en approche, Galilée va soulever une bizarrerie liée à cette notion. Dans son ouvrage, Discours concernant deux sciences nouvelles, le physicien italien considère la liste des entiers positifs :1, 2, 3… qui est infinie, appelons-la liste A. Il élève ensuite au carré chaque nombre de la liste, ce qui donne : 1, 4, 9… La nouvelle liste obtenue est aussi infinie, c’est la liste B. A chaque nombre de la liste A est associé un nombre de la liste B. En jargon mathématique, on dit qu’il existe une correspondance biunivoque entre les deux listes. Les deux listes doivent donc avoir le même nombre de termes. Or, chaque élément de la liste B est aussi inclus dans la liste A. Il doit donc y avoir plus de nombre dans la liste A! Suivant le raisonnement pris, on arrive à des résultats différents! A et B sont de taille égale ou A est plus grand que B! Paradoxal…

Le mathématicien allemand David Hilbert (1862-1943) a imaginé une petite histoire pour illustrer les paradoxes des infinis. Imaginez un hôtel nommé Infinité qui a une infinité de chambres numérotés 1,2,3,…. Vous voulez y passer le weekend mais vous n’avez pas réservé. Arrivé sur place, l’hôtel est complet. Le gérant vous indique que ce n’est pas un problème et demande à chaque client de changer de chambre. Le client de la chambre 1 va dans la chambre 2, celui de la chambre 2 dans la chambre 3 etc. Vous voilà avec la chambre 1 libérée. Arrive alors un bus avec une infinité de personnes à bord qui veut passer la nuit dans cet hôtel. L’hôtel est complet mais le gérant, avec le même flegme, annonce que cela sera possible. Il demande alors au client de la chambre 1 d’aller dans la chambre 2, celui de la chambre 2, dans la chambre 4, celui de la chambre 3 dans la chambre 6, ainsi il libère toutes les chambres aux numéros impairs.Vers la résolution de l’infini

Au début du XIXe siècle, le mathématicien tchèque Bernhard Bolzano s’attaqua (à l’âge de 77ans!) au problème de l’infini. Il comprit que ces paradoxes surgissent si nous nous obstinons à appliquer au concept de l’infini des concepts qui ne sont valables qu’avec le fini. C’est un peu comme si vous vouliez absolument décrire les phénomènes atomiques avec des outils de la physique classique, ou bien vouloir allumer une cigarette avec deux silex. Il estimait que tous les infinis étaient égaux mais en celà il se trompait et c’est au mathématicien allemand Georg Cantor que l’on doit la démonstration qu’il existe différents infinis!Note : la démonstration faite par Cantor nous ferait sortir du sujet mais le lecteur intéressé pourra lire utilement la référence [9].Le mathématicien Kurt Gödel (1906-1978), grand ami d’Einstein, démontra en 1931 qu’un système arithmétique cohérent et non contradictoire contient inévitablement des propositions « indécidables », c’est à dire des raisonnement mathématiques dont on ne peut pas dire par le seul raisonnement logiques s’ils sont vrais ou faux. Ce théorème montre que le pouvoir de la pensée rationnelle n’est pas sans limites.

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